VBE kontekste
Funkcijų tema yra vienas iš dažniausių VBE I dalies klausimų — jos pasirodo tiek atskirose užduotyse (lyginumas, periodiškumas, transformacijos), tiek kaip įrankis kitose temose (lygtys, nelygybės). Egzamine svarbiausia gebėti
atpažinti funkciją iš grafiko ir
užrašyti transformuotą grafiką iš formulės.
Funkcijos samprata
Funkcija $f$ yra taisyklė, kuri kiekvienam argumento $x$ iš apibrėžimo srities $D(f)$ priskiria tiksliai vieną reikšmę $y = f(x)$ iš reikšmių srities $E(f)$.
Apibrėžimo sritis
$D(f)$ — visos $x$ reikšmės, su kuriomis $f(x)$ turi prasmę. Pvz., $f(x) = \sqrt{x}$ apibrėžta tik kai $x \geq 0$.
Reikšmių sritis
$E(f)$ — visos reikšmės, kurias funkcija įgyja. Pvz., $f(x) = x^2$ reikšmių sritis yra $[0; +\infty)$.
Lyginumas ir nelyginumas
Lyginė funkcija
$f(-x) = f(x)$ visiems $x \in D(f)$. Grafikas simetriškas $y$ ašiai. Pvz.: $f(x) = x^2$, $f(x) = \cos x$, $f(x) = |x|$.
Nelyginė funkcija
$f(-x) = -f(x)$ visiems $x \in D(f)$. Grafikas simetriškas pradžios taškui. Pvz.: $f(x) = x^3$, $f(x) = \sin x$, $f(x) = \frac{1}{x}$.
Svarbu
Funkcija gali būti
nei lyginė, nei nelyginė. Pvz., $f(x) = x^2 + x$ — pirmas dėmuo lyginis, antras nelyginis, kartu — nei vienas, nei kitas. Jei nesi tikras, tikrink: apskaičiuok $f(-x)$ ir palygink su $f(x)$ ir su $-f(x)$.
Periodiškumas
Funkcija $f$ yra periodinė, jei egzistuoja toks teigiamas skaičius $T$, kad $f(x + T) = f(x)$ visiems $x \in D(f)$. Mažiausias toks $T$ vadinamas pagrindiniu periodu.
$$\sin x \text{ ir } \cos x: T = 2\pi \qquad \tan x: T = \pi$$
Jei keičiame argumentą su koeficientu, periodas dalijamas: $\sin(kx)$ periodas yra $\frac{2\pi}{|k|}$.
Pagrindinės funkcijos ir jų grafikai
Šios funkcijų formos turi būti atpažįstamos iš pirmo žvilgsnio:
Grafikų transformacijos
Iš pagrindinės funkcijos $y = f(x)$ galima gauti naujus grafikus pagal šias taisykles:
$$y = f(x) + a \quad\text{— pakelia grafiką į viršų } a \text{ vienetų}$$
$$y = f(x + a) \quad\text{— pastumia grafiką į kairę } a \text{ vienetų}$$
$$y = -f(x) \quad\text{— atspindi grafiką per } x \text{ ašį}$$
$$y = a \cdot f(x) \quad\text{— ištempia/sutraukia vertikaliai } a \text{ kartų}$$
Įsidėmėk!
$y = f(x + 3)$ pastumia į
kairę 3 vienetus, o ne į dešinę. Tai logiškai prieštarauja intuicijai, bet paprastas testas: kai $x + 3 = 0$, t. y. $x = -3$, gauname $f(0)$ — taigi pradžios reikšmė yra ties $x = -3$, o ne ties $x = 3$.
Pavyzdys su sprendimu
1 pavyzdys · Lyginumo nustatymas
Nustatykite, ar funkcija $f(x) = \dfrac{x^4 + 2}{x^2 + 1}$ yra lyginė, nelyginė, ar nei viena, nei kita.
1.Apskaičiuojam $f(-x) = \dfrac{(-x)^4 + 2}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{x^4 + 2}{x^2 + 1}$
2.Lyginam su $f(x) = \dfrac{x^4 + 2}{x^2 + 1}$. Matome, kad $f(-x) = f(x)$.
3.Apibrėžimo sritis $D(f) = \mathbb{R}$ — simetriška nuliui.
Atsakymas
Funkcija yra lyginė.
Tipinės klaidos
⚠ Klaida № 1
Užmiršti patikrinti apibrėžimo sritį. Funkcija negali būti nei lyginė, nei nelyginė, jei $D(f)$ nėra simetriška nuliui. Pvz., $f(x) = \sqrt{x}$ apibrėžta tik $[0; +\infty)$ — net jei $f(-x) = -f(x)$ formaliai galiotų, tai jau neturi prasmės.
⚠ Klaida № 2
Painioti transformacijų kryptis. $f(x - 2)$ pastumia į
dešinę, $f(x + 2)$ — į
kairę. Patikrink šaknies tašku: kai pakeičiame argumentą, ką gauname kai vidus = 0?
⚠ Klaida № 3
Manyti, kad sudėtinė funkcija visada apibrėžta. $g(f(x))$ apibrėžta tik tada, kai $f(x) \in D(g)$. Pvz., $\log(\sin x)$ apibrėžta tik kai $\sin x > 0$.
Savitikra
Atsakymai — bonus uždavinių lape
01Nustatykite funkcijos $f(x) = x^3 - 3x$ lyginumą.
02Funkcijos $y = f(x)$ grafikas pastumtas 4 vienetus į dešinę ir 2 į apačią. Užrašykite naujos funkcijos formulę.
03Raskite funkcijos $f(x) = \sqrt{x - 1}$ apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį.