§ · Greitos prieigos lapas
Visos formulės
Du blokai aiškiai atskirti: viršuje — viskas, ką gausi formulių lape egzamino metu (mokytis mintinai nereikia); apačioje — viskas, ko formulių lape nėra, bet privalu mokėti pačiam. Kiekviena formulė susieta su tema, kurioje ji aptariama plačiau.
Šiame puslapyje nėra savitikros klausimų ir išspręstų pavyzdžių — tai sąmoningas pasirinkimas. Lapas skirtas greitai peržvelgti dieną prieš egzaminą arba paskutinę valandą laisvalaikiu. Detalesnio paaiškinimo ieškok atitinkamos temos puslapyje.
Egzamine bus prieinama
Šios formulės bus pateiktos formulių lape egzamine — mokytis mintinai nereikia, bet privalu jas atpažinti ir mokėti taikyti. Šaltinis: NŠA užduočių aprašo 1 priedas, II skyrius (matematika A).
Skaičiai ir skaičiavimai
Greitosios daugybos formulės
$$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$$
$$(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3$$
Laipsniai
| Sandauga / dalmuo | $a^n \cdot a^m = a^{n+m}, \quad a^n : a^m = a^{n-m}$ |
| Laipsnio laipsnis | $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ |
| Sandaugos / dalmens laipsnis | $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n, \quad a^n : b^n = (a:b)^n$ |
| Trupmeninis rodiklis | $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ |
Šaknys
$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, \quad \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a:b}, \quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$$
Logaritmai
| Pagrindinė tapatybė | $a^{\log_a b} = b; \quad a^x = b \Rightarrow x = \log_a b$ |
| Sandauga | $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$ |
| Dalmuo | $\log_a b - \log_a c = \log_a(b : c)$ |
| Argumento laipsnis | $k \cdot \log_a b = \log_a(b^k)$ |
| Bazės laipsnis | $\dfrac{1}{k} \log_a b = \log_{a^k} b$ |
| Bazės keitimas (tik A) | $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ |
Taikymo sritis: $a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0$.
Modeliai ir sąryšiai
Trigonometrija — pagrindinės tapatybės
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \quad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$$
Dvigubo kampo formulės (tik A)
| $\sin(2\alpha)$ | $= 2\sin\alpha\cos\alpha$ |
| $\cos(2\alpha)$ | $= \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ |
| $\operatorname{tg}(2\alpha)$ | $= \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$ |
Sumos ir skirtumo formulės (tik A)
$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$
$$\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta}$$
Tikslių reikšmių lentelė
| α | $0°$ | $30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$) | $45°$ ($\tfrac{\pi}{4}$) | $60°$ ($\tfrac{\pi}{3}$) | $90°$ ($\tfrac{\pi}{2}$) |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\operatorname{tg}\alpha$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
Trigonometrinių lygčių sprendiniai (A, radianais)
| $\sin x = a$, $a \in [-1; 1]$ | $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ |
| $\cos x = a$, $a \in [-1; 1]$ | $x = \pm\arccos a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ |
| $\operatorname{tg} x = a$, $a \in \mathbb{R}$ | $x = \operatorname{arctg} a + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ |
Aritmetinė ir geometrinė progresijos
| Aritmetinė | Geometrinė | |
|---|---|---|
| $n$-tasis narys | $a_n = a_1 + d(n - 1)$ | $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ |
| Pirmųjų $n$ narių suma | $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ | $S_n = \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ |
$$\text{Nykstamoji geometrinė } \!(|q| < 1, \text{ tik A}): \quad S = \dfrac{b_1}{1 - q}$$
Sudėtiniai procentai
$$S_n = S \cdot \left(1 \pm \dfrac{p}{100}\right)^n$$
Geometrija ir matavimai
Atkarpa
$$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}, \qquad M\!\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2};\; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$$
Trikampis
| Kosinusų teorema | $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$ |
| Sinusų teorema | $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ |
| Plotas | $S_\triangle = \tfrac{1}{2} a \cdot h_a = \tfrac{1}{2} ab\sin C = \sqrt{p(p\!-\!a)(p\!-\!b)(p\!-\!c)}$ |
| Plotas (per spindulius) | $S_\triangle = rp = \dfrac{abc}{4R}$ |
Skritulio išpjova
$$S_\alpha = \dfrac{\pi R^2}{360} \cdot \alpha, \qquad l_\alpha = \dfrac{2\pi R}{360} \cdot \alpha$$
Plokštumos vektoriai (tik A)
$$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \qquad \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$$
Pastaba dėl sukinių, išvestinių ir integralų
Oficialiame formulių lape taip pat yra sukinių (ritinys, kūgis, rutulys, piramidė), išvestinių ir integralų formulės — tai II dalies medžiaga, todėl I daliai neaktuali. Detalus jų sąrašas lieka Šaltinių Biblijos 4.11–4.17 skyriuose.
Privalu mokėti atmintinai
Šitos formulės oficialiame lape neatvedamos — privalu mokėti pačiam. Atrinktos pagal egzamine reikalingą greitį: tai dalykai, kurių paieška Biblijoje arba mintinis išvedimas užtruks per ilgai.
Modulis (2.2)
| Savybė | Formulė |
|---|---|
| Apibrėžimas | $|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$ |
| Šaknis iš kvadrato | $\sqrt{a^2} = |a|$ |
| Sandauga / dalmuo | $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|, \quad \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$ |
| Trikampio nelygybė | $|a + b| \leq |a| + |b|$ |
$$|f(x)| = a \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} f(x) = a \\ f(x) = -a \end{cases} \quad (a \geq 0)$$
$$|f(x)| < a \;\Leftrightarrow\; -a < f(x) < a \qquad |f(x)| > a \;\Leftrightarrow\; f(x) < -a \text{ arba } f(x) > a$$
Laipsniai (2.3)
Visos septynios laipsnių savybės yra formulių lape (4.2 skyriuje), bet greitam atpažinimui — vienu žvilgsniu:
| Neigiamas rodiklis | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, kai $a \neq 0$ |
| Nulinis rodiklis | $a^0 = 1$, kai $a \neq 0$ |
| Įsidėmėk! | $(a + b)^n \neq a^n + b^n$ — sumos laipsnis neskleidžiamas kaip suma |
Šaknys (2.4)
| Šaknis iš laipsnio | $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a, & n \text{ nelyginis} \\ |a|, & n \text{ lyginis} \end{cases}$ |
| Daugiklio iškėlimas | $\sqrt[n]{a^n \cdot b} = |a| \sqrt[n]{b}$ ($n$ lyginis); $= a \sqrt[n]{b}$ ($n$ nelyginis) |
| Iracionalumo naikinimas | $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}, \quad \dfrac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$ |
| Įsidėmėk! | $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — viena dažniausių VBE klaidų |
Trigonometrija — kvadrantai ir specialūs atvejai (2.6)
Ženklai pagal kvadrantą
| Kvadrantas | $\sin$ | $\cos$ | $\operatorname{tg}$ |
|---|---|---|---|
| I ($0$ – $\tfrac{\pi}{2}$) | $+$ | $+$ | $+$ |
| II ($\tfrac{\pi}{2}$ – $\pi$) | $+$ | $-$ | $-$ |
| III ($\pi$ – $\tfrac{3\pi}{2}$) | $-$ | $-$ | $+$ |
| IV ($\tfrac{3\pi}{2}$ – $2\pi$) | $-$ | $+$ | $-$ |
Redukcijos formulės
| Simetrija | Sinusas | Kosinusas | Tangentas |
|---|---|---|---|
| Neigiamas | $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ | $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ | $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ |
| $\pi - \alpha$ (II kv.) | $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ | $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ | $\operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ |
| $\pi + \alpha$ (III kv.) | $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ | $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ | $\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}\alpha$ |
| Periodas | $\sin(\alpha + 2\pi k)$ | $\cos(\alpha + 2\pi k)$ | $\operatorname{tg}(\alpha + \pi k)$ |
Atvirkštinės funkcijos — reikšmių sritys
| $\arcsin a$, $a \in [-1; 1]$ | reikšmės $\in \left[-\tfrac{\pi}{2};\, \tfrac{\pi}{2}\right]$ |
| $\arccos a$, $a \in [-1; 1]$ | reikšmės $\in [0;\, \pi]$ |
| $\operatorname{arctg} a$, $a \in \mathbb{R}$ | reikšmės $\in \left(-\tfrac{\pi}{2};\, \tfrac{\pi}{2}\right)$ |
Progresijos — atpažinimas iš trijų narių (3.1)
$$\text{Aritmetinė: } \;a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \qquad \text{Geometrinė: } \;b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$$
Aritmetinėje vidurinis narys yra dviejų kraštinių vidurkis; geometrinėje — geometrinis vidurkis.
Nelygybių sprendimo standartiniai pavidalai (3.5)
Trupmeninė
$$\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} f(x) \cdot g(x) \geq 0 \\ g(x) \neq 0 \end{cases}$$
Rodiklinė
$$a^{f(x)} > a^{g(x)} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} f(x) > g(x), & a > 1 \\ f(x) < g(x), & 0 < a < 1 \end{cases}$$
Logaritminė
$$\log_a f(x) > \log_a g(x) \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} f(x) > g(x) \\ f(x) > 0,\;\; g(x) > 0 \end{cases} \quad (a > 1)$$
$$\log_a f(x) > \log_a g(x) \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0,\;\; g(x) > 0 \end{cases} \quad (0 < a < 1)$$
Kvadratinės šaknys
$$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \qquad D = b^2 - 4ac$$
Įsidėmėk!
Trys nelygybių taisyklės, kurios kainuoja taškus dažniausiai: (1) dauginant arba dalinant iš neigiamo skaičiaus — apverčiamas ženklas; (2) rodiklinėje arba logaritminėje, kai bazė $0 < a < 1$ — apverčiamas ženklas; (3) trupmeninėje — vardiklio nuliai į atsakymą niekada neįtraukiami, net jei nelygybė negriežta.